はじめに
高圧ガス甲種機械や技術士試験でも頻出の、両端固定熱応力問題についてどこよりもわかりやすく解説します。
この記事を読めば、この問題の考え方を理解できるようになります。
問題の設定
図に示すように、長さl、断面積A1、ヤング率E1、線膨張係数α1の円柱と、長さl、断面積A2、ヤング率E2、線膨張係数α2の円筒が、同軸で剛体板に接続されている。系に応力が生じていない状態から、温度を⊿Tだけ上昇させたとき、円柱と円筒の伸び量⊿lを求めよ。
ただし、α1<α2とし、半径方向の変形は無視できるものとする。
結論
式だけを先に知りたい方のために、結論をまとめます。
複雑ですが、ポイントを押さえれば比較的一本道に導出できます。
\(⊿l=\dfrac{A_1E_1α_1+A_2E_2α_2}{ A_1E_1+A_2E_2}l⊿T\)
問題の考え方
熱伸びの式
熱伸びの式と聞いて、真っ先に思い浮かぶのは下記の式ではないでしょうか。
\(⊿l=α×⊿T×l\)
この式は外力や内力が生じていない状態における、温度と伸び量の式です。今回は、これに内力がミックスされた状態となります。
内力と熱伸びの考え方
この問題では、円筒のほうが円柱より線膨張係数が大きいので、仮に右側の剛体板を外して、左側固定で温度を加えると、下の図のような熱伸びとなるはずです。
ここで、円柱と円筒の熱伸び量をそれぞれ⊿l1、⊿l2とすると、先ほどの熱伸びの式から、下記のように書くことができます。
\(⊿l_1=α_1×⊿T×l\)
\(⊿l_2=α_2×⊿T×l\)
次に内力を考えましょう。先ほどの状態から、右側剛体板をつけると、下図のような状態になりますね。
つまり、円柱は伸ばされ、円筒は縮められるはずです。物体が変形するということは力が加わっているはずですが、外力は加わっていません。つまり内力が発生しています。
円柱と円筒に加わる内力は、つり合いの観点から、大きさが等しいはずです。この力をPとしましょう。このときの伸び量を⊿lとします。
イメージは、円柱側はP1の力をかけて右に引っ張って伸ばし、円筒側はP2の力で左に押して縮め、同じ長さになったところで板をくっつけて、力を除荷する感じです。
仮に、P1をたくさん引っ張って、P2は少し押しただけのところでくっつけた（|P1|>|P2|）としましょう（下の図、上から3つ目）。
除荷すると力が剛体板にかかりますが、剛体板目線だと、P1が左に、P2が右に板を押していることになります。力が釣り合っていないので、板は左に動きます。どこで止まるかというと、|P1|=|P2|となる地点です。なお、2つの部材は軸対称に接続されているので、回転モーメントも生じません。
つまり、自然と|P1|=|P2|となる地点に落ち着くのです。
式の導出
コラムに書いた通り、円柱は力Pで伸ばされ、円筒は縮められています。円柱の内力による伸び量を⊿l1’、円筒の縮み量を⊿l2’とすると、ヤング率と断面積から、
\(⊿l_1’=\dfrac{P}{A_1}\dfrac{l}{E_1}\)
\(⊿l_2’=\dfrac{-P}{A_2}\dfrac{l}{E_2}\)
※縮む方向をマイナスに取っています。
全体の伸び量⊿lは、
\(⊿l=⊿l_1+⊿l_1’=⊿l_2+⊿l_2’\)
となるから、
\(α_1×⊿T×l+\dfrac{P}{A_1}\dfrac{l}{E_1}=α_2×⊿T×l+\dfrac{P}{A_2}\dfrac{l}{E_2}\)
となる。この式の中で未知数はPだけなので、Pについて解くと、
\(P=\dfrac{A_1E_1A_2E_2}{ A_1E_1+A_2E_2}(α_2-α_1)⊿T\)
これをもとの式に代入すると、
\(⊿l=\dfrac{A_1E_1α_1+A_2E_2α_2}{ A_1E_1+A_2E_2}l⊿T\)
まとめ
いかがでしょうか。材料力学では、複数のひずみや伸びそれぞれ分けて考えて、最後に重ね合わせることでうまく整理できることが多いです。他の問題も同様に考えてみてください。
