はじめに
高圧ガス甲種機械や技術士試験でも頻出の、薄肉円筒、球殻の問題（フープ応力）についてどこよりもわかりやすく解説します。
この記事を読めば、この問題の考え方を完全に理解できるようになります。
問題の設定
図に示すように、長さl、半径r、板厚tの薄肉円筒容器（r>>t）と、半径r、板厚tの薄肉球形容器に内圧pのガスが封入されている。両端から十分離れた円筒部分における円周方向ひずみεθ1と軸方向ひずみεz、球形容器のひずみεθ2を求めよ。ただし、両容器ともヤング率はE、ポアソン比はνとする。
結論
式だけを先に知りたい方のために、結論をまとめます。
ちょっと複雑ですが、ポイントを押さえれば比較的一本道に導出できます。
\(σ_z= \dfrac{rp}{2t}\)
\(σ_{θ1}= \dfrac{rp}{t}\)
\(σ_{θ2}= \dfrac{rp}{2t}\)
\(ε_z= \dfrac{(1-2ν) pr }{2Et}\)
\(ε_{θ1}= \dfrac{(2-ν) pr }{2Et}\)
\(ε_{θ2}= \dfrac{(1-ν) pr }{2Et} \)
問題の考え方
薄肉円筒 軸方向応力（z方向）
円筒軸方向（z方向）の応力を考えるために、まず断面A-Aを考えましょう。
断面A-Aはドーナツ状ですが、切って展開すると長さ2πr、高さtの長方形となるので、面積は
\(A_z=2πrt\)
となります。
展開したとき、下の図のように厳密には内側と外側の円周に差が出ます。その差は2πtで、面積にするとπt2です。薄肉円筒ではr>>tとみなせるほどtが小さいので、それを2乗している部分の寄与はさらに小さいです。（2次の微小量O(t2)）
よって、薄肉円筒の場合ここは無視できます。
この面には、容器の鏡板部（上と下の蓋部分）にかかった圧力による力Tzがかかります。
鏡板の面積はπr2なので、左右それぞれに
\(T_z = πr^2p\)
だけの力で円筒を引っ張ります。
よって、応力は
\(σ_z = \dfrac{T_z}{A_z}= \dfrac{πr^2p}{2πrt}= \dfrac{rp}{2t}\)
となります。
薄肉円筒 半径方向応力（θ方向）
次に円筒半径方向（θ方向）の応力を考えるために、断面B-Bを考えましょう。
薄肉円筒問題の趣旨は円筒部分のひずみであり、円筒は十分長く、鏡板の影響は無視できるので、ここでは鏡板の断面は無視します。
断面は長さl、高さtの長方形2つなので、面積は
\(A_{θ1}=2tl\)
となります。
この面には、容器の円筒部にかかった圧力による力Tθ1がかかります。ただし、図のように、圧力による力1つ1つは、円筒に沿って向きが変わっています。
これらのうち、θ方向に寄与する力は、円筒の投影面積×力で求めることができます（それ以外の向きの力は打ち消し合う）。
円筒を投影すると長方形になり、面積は2rlなので、左右それぞれに
\(T_{θ1}= 2rlp\)
だけの力で円筒を引っ張ります。
よって、応力は
\(σ_{θ1} = \dfrac{T_{θ1}}{A_{θ1}}= \dfrac{2rlp}{2tl }= \dfrac{rp}{t}\)
となります。
平面応力のフックの法則
1次元のフックの法則は、
\(ε=σ/E\)
ですが、2次元の場合は、ポアソン比を考慮して考える必要があります。
つまり、ある物体をx方向に引っ張ると、y方向に縮む効果を考慮する必要があります。
これは、以下の記事のまとめにも書いた、重ね合わせの法則で簡単に導出することができます。
2次元の物体にx方向の応力σxが加わっているときのひずみは
\(ε_x=σ_x/E\)
\(ε_y=―νσ_x/E\)
同様にy方向の応力σyが加わっているときのひずみは
\(ε_x=―νσ_y/E\)
\(ε_y=σ_y/E\)
これらを足し合わせると、
\(ε_x=σ_x/E―νσ_y/E\)
\(ε_y=σ_y/E―νσ_x/E\)
となります。これが2次元のフックの法則です。（同様に3次元も導出可能です）
今はx-y座標系で導出しましたが、z-θ座標系でも同じ式となります。
薄肉円筒のひずみ
先ほど求めた応力を上記の2次元のフックの法則に代入すると、
\(ε_z=σ_z/E―νσ_{θ1}/E= \dfrac{p}{E}\left(\dfrac{r}{2t}-ν\dfrac{r}{t}\right)\)
\(⇔= \dfrac{(1-2ν)pr}{2Et}\)
\(ε_{θ1}=σ_{θ1}/E―νσ_z/E= \dfrac{p}{E}\left(\dfrac{r}{t}-ν\dfrac{r}{2t}\right)\)
\(⇔= \dfrac{(2-ν)pr}{2Et}\)
となります。
薄肉球殻 半径方向応力（θ方向）とひずみ
球殻も円筒と同様に考えることができます。
球殻の場合は球対称なので、θ方向だけ考えればokです。
断面C-Cをとると、面積は円筒と同様に
\(A_{θ2}=2πrt\)
と書けて、力は投影した面積、すなわち円の面積に圧力をかければよいので、左右それぞれに
\(T_{θ2}= πr^2p\)
だけの力で球殻を引っ張ります。
よって、応力は
\(σ_{θ2} = \dfrac{T_{θ2}}{A_{θ2}}= \dfrac{πr^2p}{2πrt }= \dfrac{rp}{2t}\)
となります。
円筒の場合は、軸方向に最大rp/tの応力が加わりますが、球殻の場合は最大でもその1/2倍しか加わらない計算となります。
最後にひずみは、
\(ε_{θ2}=σ_{θ2}/E―νσ_{θ2}/E= \dfrac{p}{E}\left(\dfrac{r}{2t}-ν\dfrac{r}{2t}\right)\)
\(⇔= \dfrac{(1-ν)pr}{2Et}\)
となります。
まとめ
いかがでしょうか。材料力学では、複数のひずみや伸びそれぞれ分けて考えて、最後に重ね合わせることでうまく整理できることが多いです。他の問題も同様に考えてみてください。
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