【高圧ガス甲種機械・技術士1次試験対策】U字管マノメータによる流量計測

はじめに
問題の設定と解説

はじめに

この記事では、U字管マノメータによる配管内の体積流量計測を解説します。

高圧ガス甲種機械や、技術士補の試験対策の観点から、丁寧に解説します。

問題の設定と解説

問題は下記のとおりです。

連続の式（質量保存則）の適用

円管の断面積をそれぞれA1、A2とおいて、連続の式を適用すると、

\(Q=u_1A_1=u_2A_2\)

\(⇔u_2=u_1\dfrac{A_1}{A_2}=u_1\dfrac{d_1^2π/4}{d_2^2π/4}=u_1\dfrac{d_1^2}{d_2^2}\)

となる。

質量流量、ノルマル流量に直すときは下記の通り計算してください。
\(\dot{m}=\rho_AA_1u_1 \rm[kg/s]\)

\(Q_N=Q×\dfrac{273.15}{273.15+T_1}×\dfrac{101.32+p_1}{101.32}×3600\rm[Nm^3/h]\)

ベルヌーイの定理の適用

次に、ベルヌーイの定理を適用します。水平管なので重力項は無視できるから、

\(p_1+\dfrac{1}{2}\rho_1u_1^2=p_2+\dfrac{1}{2}\rho_2u_2^2\)

ここで、問題中の仮定から流体Aの温度、密度変化が無視できるので、

\(\rho_1=\rho_2=\rho_A\)

マッハ数が0.4以上のような高速流では、密度変化を考慮しなければいけません。

よって、ベルヌーイの定理は下記の通り書き直せる。

\(p_1+\dfrac{1}{2}\rho_Au_1^2=p_2+\dfrac{1}{2}\rho_Au_2^2\)

\(⇔p_2=p_1+\dfrac{1}{2}\rho_A(u_1^2-u_2^2)\)

ここに連続の式から得られた結果を代入すると、

\(⇔p_2=p_1+\dfrac{1}{2}\rho_Au_1^2\left(1-\dfrac{d_1^4}{d_2^4}\right)\)

と書けます。

U字管におけるつり合い

最後に、U字管におけるつり合いを考えます。

今、U字管のa-a断面を考えたとき、それぞれの液面にかかっている力はつり合っています。
（そうでなければ液面高さが動きます）

左側の液面には、①の空間にある流体Aの重さと、圧力p1による力が、
右側の液面には、②の空間にある流体Bの重さと、圧力p2による力が加わります。
ただし、問題の仮定からマノメータ内の流体Aの重さは無視できるので、マノメータの断面積をAmとすると、

\(p_1A_m=p_2A_m+\rho_BgA_mH\)

\(⇔p_1=p_2+\rho_BgH\)

\(⇔H=\dfrac{p_1-p_2}{\rho_Bg}\)

ここに、ベルヌーイの定理から求めた式を代入すれば、

\(H=\dfrac{1}{2g}\dfrac{\rho_A}{\rho_B}u_1^2\left(\dfrac{d_1^4}{d_2^4}-1\right)\)

が求まる。

応用例

具体的な値を入れて、傾向を見てみましょう。

水平円管内部の流体を空気（密度1.293kg/m3）、絞り比を3:4としたとき、
マノメータ内の流体を水（密度1000kg/m3）、水銀（密度13600kg/m3）で比較すると下記のとおりです。
流速を上げるほど、絞り前後での圧力差がつくので、液柱高さの差も大きくなります。
また、比重が重い水銀の方が、同じ圧力差に対して感度が小さくなります。